Laser-Spotgrößen-Rechner

So berechnen Sie einen fokussierten Laser-Spotdurchmesser

Eine Linse fokussiert einen kollimierten Laserstrahl auf eine Taille. Vier Größen legen deren 1/e²-Durchmesser fest: die Wellenlänge, die Brennweite, der kollimierte Strahldurchmesser an der Linse und die Strahlqualität. Für einen Strahl, der bis auf die Beugungsmaßzahl M² gaußförmig ist:

Halten Sie die Einheiten konsistent. Mit λ in µm sowie f und D in mm kommt d₀ in µm heraus. Der häufigste Fehler ist, einen Radius in eine Formel zu setzen, die für Durchmesser geschrieben ist: w₀ statt d₀ verfehlt jedes Ergebnis um den Faktor zwei. Dieser Rechner arbeitet durchgehend mit Durchmessern, und die Strahlengang-Skizze benennt, welcher Durchmesser welcher ist.

Alles Weitere fällt auf eine einzige Zahl zusammen. Mit der Blendenzahl N = f/D wird d₀ = (4λM²/π)·N. Sind λ und M² festgelegt, hängt der Spot nur vom Verhältnis aus Brennweite und Strahldurchmesser ab und von nichts sonst. Eine 100-mm-Linse mit einem 5-mm-Strahl und eine 200-mm-Linse mit einem 10-mm-Strahl erzeugen denselben Spot.

Spotdurchmesser, Strahltaille, Rayleigh-Länge und Schärfentiefe

Der Strahl bleibt nicht bei d₀. Von der Taille weg wächst er nach

Setzt man d₀ ein, ergibt sich die Identität z_R = d₀·f/D. Die Rayleigh-Länge ist der Spotdurchmesser mal der Blendenzahl, eine praktische Merkregel. Weil der Spot linear in der Blendenzahl ist und die Rayleigh-Länge quadratisch, skaliert der Spot mit f/D, die Schärfentiefe dagegen mit (f/D)². Den Spot zu halbieren kostet drei Viertel der Tiefe. Keine gewöhnliche refraktive Optik entkommt diesem Kompromiss, und genau deshalb gibt es Beam Shaping mit erweiterter Schärfentiefe.

Schärfentiefe ist eine Toleranz, keine physikalische Kante. Sie bedeutet erst dann etwas, wenn Sie angeben, wie viel Durchmesserzunahme Sie zulassen. Die allgemeine Form lautet DOF = 2·z_R·√((1+X)²−1) für eine relative Durchmesserzunahme X, und der Rechner lässt Sie zwischen den drei Kriterien wechseln, die in der Praxis vorkommen:

Die meisten veröffentlichten Spotgrößen-Rechner nennen nur den Standardwert. Diese Zahl ist großzügig gegenüber dem, was ein Beschriftungs-, Schweiß- oder Bohrprozess tatsächlich toleriert. Deshalb sitzt der Umschalter direkt am Ergebnis: Wählen Sie +10 % oder +5 %, folgen der Plot, die Klammer und die Zahl. Beim Standardkriterium ist die halbe Tiefe genau die Rayleigh-Länge, beide sind also dieselbe Aussage in anderen Worten.

Lesen Sie die letzte Spalte, bevor Sie sich auf eine Toleranz festlegen. Ein Durchmesserkriterium und ein Intensitätskriterium sind verschiedene Dinge, und bei Abtrag oder Schweißen setzt oft die Intensität das Fenster.

Strahlqualität als M² oder BPP eingeben

M² und das Strahlparameterprodukt tragen dieselbe Information in anderen Einheiten. BPP ist das Produkt aus Taillenradius und Fernfeld-Halbwinkeldivergenz:

Die Beziehung läuft über λ, dieselbe BPP bedeutet also bei einer anderen Wellenlänge ein anderes M². Deshalb rechnet der Umschalter neben dem Strahlqualitätsfeld den Wert um, statt ihn nur umzubenennen. Er setzt auch eine Untergrenze: Kein Strahl kann eine BPP unter λ/π haben, und der Rechner weist Werte darunter ab, statt ein M² unter 1 auszugeben.

Dioden- und Faserlaser werden meist über die BPP spezifiziert, Festkörper- und Ultrakurzpulsquellen über M². Beide sind über die Methode der zweiten Momente nach ISO 11146 definiert, ein vom Lieferanten angegebenes M² sollte also bereits der D4σ-Wert sein, den diese Formel erwartet.

Spotdurchmesser bei fasergekoppelten Lasern

In einem fasergekoppelten System ist die Strahlqualität kein freier Parameter. Die Faser legt sie fest, aus Kerndurchmesser und Faser-NA:

Hier gibt es eine nützliche Plausibilitätsprobe. Eine fasergekoppelte Kette bildet den Kern auf die Arbeitsebene ab, der Spot sollte also gleich dem Kerndurchmesser mal dem Abbildungsmaßstab sein:

Das ist keine eigenständige Formel. Setzt man die Ausdrücke oben ein, reduziert sich das Gauß-Ergebnis genau darauf. Es ist außerdem die Zahl, die Faserlaser-Ingenieure ohnehin im Kopf haben, deshalb zeigt der Rechner beide. Sie stimmen bis auf die Kleinwinkelnäherung (tan θ ≈ θ) überein, ein paar Zehntelprozent bei NA 0,12 und mit der NA wachsend.

Drei Einschränkungen. Erstens: Prüfen Sie, welche NA-Definition Ihr Datenblatt verwendet. 1/e²-, 5-%- und Vollaperturwerte unterscheiden sich genug, um sowohl M² als auch den kollimierten Durchmesser spürbar zu verschieben. Zweitens: Dies ist die übliche Stufenindex-Multimode-Abschätzung, die den Kern als gleichmäßig gefüllt behandelt. Für eine Single-Mode-Faser ist sie nur ein grober Anhalt, und der Rechner warnt, wenn die eingegebenen Zahlen M² ≈ 1 ergeben.

Drittens: Lesen Sie das Ergebnis für das, was es ist. Bei einer voll gefüllten Multimode-Faser liegt die Zahl nahe am abgebildeten Kerndurchmesser, und dieses Profil ist eher ein Flat-Top mit verrundeten Flanken als ein Gauß-Profil. Es ist kein gaußscher 1/e²-Durchmesser, und die Anteile eingeschlossener Leistung aus der Tabelle unten übertragen sich nicht. Nutzen Sie es als Breite der beleuchteten Fläche und messen Sie nach, wenn der Prozess von der Flankensteilheit abhängt.

Durchgerechnete Beispiele

1/e², FWHM und D4σ: welcher Durchmesser ist gemeint?

Spotgrößen werden nach mehreren verschiedenen Definitionen angegeben, und sie zu vermischen ist nach Radius gegen Durchmesser die zweithäufigste Quelle von Fehlern in Faktorgröße. Für einen idealen Gauß-Strahl:

D4σ und 1/e² fallen nur für einen sauberen Gauß-Strahl zusammen. Für einen realen Strahl mit Ausläufern ist die Zweite-Momente-Breite die größere der beiden und die nützlichere. Der Rechner zeigt die FWHM-Entsprechung unter dem Spot-Ergebnis, sodass ein Datenblatt in beiden Angaben ohne Rechnen verglichen werden kann.

Das entscheidet, welchen Durchmesser Sie eingeben sollten. M² ist selbst über zweite Momente definiert, ein gemessenes M² aus einem Strahlprofil-Messbericht gehört also zu D4σ-Durchmessern, hinein wie hinaus. Einen 1/e²-Durchmesser einzugeben ist die nahezu-gaußsche Näherung: passabel für eine Single-Mode-Quelle, schwächer mit steigendem M². Die beiden Eingaben sind oft genug dieselbe Zahl, dass der Unterschied selten eine Linsenwahl ändert, und es lohnt zu wissen, welche Sie gemacht haben.

Annahmen und Grenzen

Lesen Sie diese, bevor Sie eine Zahl aus irgendeinem gaußschen Spotgrößen-Rechner zitieren, auch aus diesem.

• Ideale dünne Linse, keine Aberrationen. Sphärische Aberration und Koma in einem realen Objektiv vergrößern den Spot. Behandeln Sie das Ergebnis als den besten Fall, den die Geometrie zulässt.
• Keine Beschneidung. Die Formel setzt voraus, dass der ganze Strahl hindurchgeht. Halten Sie jede freie Apertur im Strahlengang beim 1,5- bis 2-Fachen des Strahldurchmessers, denn ein beschnittener Gauß-Strahl weitet den Fokus auf und erzeugt Beugungsringe.
• Paraxial. Oberhalb von etwa NA 0,5 verlieren die geschlossenen Ausdrücke an Genauigkeit, und nahe der Wellenlängenskala spielen Vektorfeldeffekte eine Rolle. Der Rechner weist beide Fälle aus, statt sie zu übergehen.
• Keine thermische Fokusverschiebung. Bei hoher mittlerer Leistung ist die Fokusdrift in der Optik oft größer als die hier berechnete Schärfentiefe.
• Runder, astigmatismusfreier Strahl, wellenlängenunabhängiges M². Für einen elliptischen oder zweiachsigen Strahl rechnen Sie jede Achse getrennt und erwarten Sie zwei Taillen an zwei verschiedenen Positionen.
• Eine Durchmesser-Konvention durchgehend. Was Sie eingeben, kommt in derselben Konvention heraus: D4σ hinein ergibt D4σ hinaus, 1/e² hinein ergibt 1/e² hinaus. Da die ISO 11146 M² über zweite Momente definiert, gehört ein gemessenes M² strikt zu D4σ. Für eine fasergekoppelte Kette nähert der Spot den abgebildeten Kern an, der überhaupt kein gaußscher Durchmesser ist.
• Ein Durchmesserkriterium ist kein Prozesskriterium. Ihr Fenster kann stattdessen durch Fluenz oder Intensität gesetzt sein. Siehe die Intensitätsspalte in der Schärfentiefe-Tabelle oben.

So haben wir diesen Rechner validiert

Das Werkzeug enthält eine eingebaute Testreihe mit 19 Prüfungen, im Browser durch Anhängen von ?selftest=1 an die Seiten-URL ausführbar. Es ist keine Behauptung von Korrektheit per Zusicherung. Jede Prüfung vergleicht mit etwas Unabhängigem:

• Lehrbuchwerte: d₀ für λ = 1064 nm, f = 100 mm, D = 10 mm, M² = 1 gegen die Handrechnung.
• Interne Identitäten: z_R = d₀·(f/D), d(z_R) = √2·d₀, Standard- DOF = 2·z_R, DOF@10 % = 0,917·z_R, DOF@5 % = 0,640·z_R, BPP = λM²/π und die Fernfelddivergenz, die D/f wiedergibt.
• Skalierungsgesetze: Spot ∝ M² und z_R ∝ M² bei festem λ, f und D.
• Hin-und-zurück: alle vier Rückwärtsrechnungen zurück durch die Vorwärtsrechnung geführt.
• Ein unabhängiger physikalischer Weg: das Faserergebnis gegen die einfache geometrische Abbildung D_Kern·f_focus/f_coll geprüft, die bis auf die Kleinwinkelnäherung übereinstimmt.
• Einheitengleichheit: eine als BPP eingegebene Strahlqualität, die denselben Strahl erzeugt wie das gleichwertige M².

Jede Formel und jede Einheitenkonvention ist dokumentiert statt vorausgesetzt. Der Kriteriumsfaktor K(X) ist in allgemeiner Form implementiert, und genau das lässt die Oberfläche alle drei Schärfentiefe-Kriterien aus demselben Code-Pfad anbieten.

Quellen

• ISO 11146, Laser und Laseranlagen: Prüfverfahren für Laserstrahlabmessungen, Divergenzwinkel und Beugungsmaßzahlen. Die normative Definition von M² und D4σ.
• A. E. Siegman, Lasers, University Science Books, 1986. Die Standarddarstellung der Gauß-Strahlpropagation und des M²-Formalismus.
• S. A. Self, „Focusing of spherical Gaussian beams“, Applied Optics 22(5), 658 bis 661 (1983). Die Referenz für die Abbildung von Gauß-Strahlen durch eine Linse. doi:10.1364/AO.22.000658
• R. Paschotta, RP Photonics Encyclopedia. Zugängliche Gegenproben zu Gauß-Strahlen und Strahlqualität.
• Newport, Gaussian Beam Optics. Ein Hersteller-Tutorial, das dieselben Beziehungen in der Notation behandelt, der die meisten Integratoren zuerst begegnen.

Häufige Fragen